Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi - Hallo sahabat jinklink, Pada Artikel yang anda baca kali ini dengan judul Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi, kami telah mempersiapkan artikel ini dengan baik untuk anda baca dan ambil informasi didalamnya. mudah-mudahan isi postingan Artikel Kalkulus, yang kami tulis ini dapat anda pahami. baiklah, selamat membaca.

Judul : Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi
link : Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi

Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi

Beberapa terapan integral dalam kehidupan sehari-hari:

1.  Peramalan jumlah populasi pada masa untuk beberapa tahun yang akan datang.
2.  Penentuan konsumsi energi di Bandung pada suatu hari.
3.  Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.

Anti Turunan

Definisi dari anti turunan

Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x) = f(x) untuk setiap $x\in I$.

Teorema anti turunan secara umum

Jika F anti turunan dari f pada interval I, maka anti turunan dari f yang paling umum adalah F(x) + C dengan C adalah konstanta sembarang.

Formula-formula anti turunan

1. Fungsi: kf(x) ; Anti turunan: kF(x) + C ; k=konstanta, C=konstanta

2. Fungsi: f(x) $\pm$ g(x) ; Anti turunan: F(x) $\pm$ G(x) + C

3. Fungsi: $x^{n}, n\neq -1$ ; Anti turunan: $x^{n+1}/{(n+1)}+C$ ; C=konstanta

4. Fungsi: sin x ; Anti turunan: -cos x + C; C=konstanta

5. Fungsi: cos x ; Anti turunan: sin x + C; C=konstanta

6. Fungsi: $sec^{2}(x)$ ; Anti turunan: tan x + C; C=konstanta

7. Fungsi: $csc^{2}(x)$ ; Anti turunan: -cot x + C; C=konstanta

8. Fungsi: sec x tan x ; Anti turunan: sec x + C; C=konstanta

9. Fungsi: csc x cot x ; Anti turunan: -csc x + C; C=konstanta

Luas di Bawah Kurva

• Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luas daerah bidang rata
• Bagaimana menentukan luas daerah bidang rata s yang dibatasi oleh kurva  $y=f(x)\geq 0$, sumbu-x, garis x = a, x = b? Lihat grafik di atas

Pendekatan persegi panjang untuk menghitung luas

1. Buat n persegi panjang dengan luas $A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}$
2. Luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegi panjang
3. Makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A
4. Luas A didefinisikan sebagai penjumlahan takhingga banyak persegi panjang

Lihat gambar di bawah ini:

Perhitungan luas dengan pendekatan persegi panjang

Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu  $y=f(x)\geq 0$ sumbu-x, garis x = a, x = b, maka lakukan:

1. Bagi interval [a,b] menjadi n interval bagian $[a=x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],...,[x_{n-1},x_{n}]$ dengan sama panjang, yakni $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, sehingga akan berlaku $x_{i}=a+i\Delta x$
2. Pada setiap interval bagian $[x_{i-1},x_{i}]$ buat persegi panjang dengan lebar $\Delta x$ dan panjang $f(x_{i})$, sehingga luas $A_{i}=f(x_{i})\Delta x$

dengan i = 1,2,3,... 

Definisi luas di bawah kurva
Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu $y=f(x)\geq 0$ sumbu-x, garis x = a, x = b adalah:

$A=\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }[f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+...+f(x_{n})\Delta x]$

$R_{n}$ adalah Jumlah Riemen$

Berikut ini diberikan formula notasi sigma, diantaranya:

$1. \sum_{i=1}^{n}c=cn ;$

$2. \sum_{i=1}^{n}cx_{i}= c\sum_{i=1}^{n}x_{i}$

$3. \sum_{i=1}^{n}x_{i}\pm y_{i} = \sum_{i=1}^{n}x_{i}\pm \sum_{i=1}^{n}y_{i}$

$4. \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

$5. \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$6. \sum_{i=1}^{n}i^{3} = \left ( \frac{n(n+1)}{6} \right )^{2}$

dengan c adalah konstanta

Integral Tentu

Konsep jumlah Rieman $R_{n}$ (pada luas di bawah kurva) dapat diperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbuh-x atau $S_{2}$

Jumlah Riemen pada $S_{2}$ negatif karena $f(x_{i})< 0$

Pada interval [a,b], lambang pada limit jumlah Rieman dapat diganti dengan lambang integral tentu

$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Perhatikan grafik di bawah ini:

Definisi integral tentu
Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah
 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(c_{i})\Delta x$
dengan:
$c_{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]$ ; $\Delta x=\frac{b-a}{n}$; $[ x_{i-1},x_{i} ]$ adalah interval bagian ke-i dari $[a,b]=[x_{0},x_{n}]$ dimana i adalah 1,2,....

Hasil Evaluasi Integral Tentu

$\int_{a}^{b}f(x)dx, b\geq a$

menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu dari tiga kemungkinan berikut:

1. Apabila lebih besar 0 ( >0 )

- Seluruh daerah berada di atas sumbu-x

- Luas daerah di atas sumbu-x  > luas daerah di bawah sumbu-x

2. Apabila lebih kecil 0 ( < 0 )

- Seluruh daerah berada di bawah sumbu-x

- Luas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x

3. Apabila sama dengan 0 ( = 0 )

- f (x) = 0 atau a = b

- Luas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x

Sifat-Sifat Integral Tentu

Berikut adalah sifat-sifat umum dari integral tentu:

$1. \int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$

$2. \int_{a}^{a}f(x)dx=0$

$3. \int_{a}^{b}cdx=c(b-a)$

$4. \int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx$
$4. \int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx$

$5. \int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
$5. \int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

$6. \int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{b}^{c}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx$

Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

1. Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.
2. Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitungan rumit seperti limit Jumlah Riemann.
3. Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial: Teorema Dasar Kalkulus (TDK).
4. Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebih
   mudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan.

Ilustrasi geometri teorema dasar kalkulus 1

Teorema dari Teorema dasar kalkulus 1
Jika f kontinu di [a,b] maka $F(x)= \int_{a}^{x}f(t)dt$ kontinu pada [a,b], terturunkan pada (a,b), dan turunnannya adalah f(x)
$F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

Teorema Dasar Kalkulus 2

Teorema dari teorema dasar kalkulus 2
Jika f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f pada [a,b], maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Teorema dasar kalkulus 2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,

jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.

Berdasarkan teorema dasar kalkulus 2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:

1. Tentukan anti turunan F dari f ,

2. Evaluasi F(b) - F(a) .

Integral Tak Tentu

Definisi integral tak tentu
Misalkan F adalah anti turunan f Integral taktentu f(x) terhadap x adalah
$\int f(x)dx=F(x)+C$

- Hasil integral tentu  berupa suatu bilangan sedangkan hasil integral taktentu berupa fungsi.

- Integral taktentu adalah lambang lain anti turunan.

Formula Integral Tak Tentu

Berikut ini disajikan beberapa formula dari integral tak tentu, diantaranya:

$1. \int kf(x)dx=k\int f(x)dx$

$2. \int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

$3. \int x^{n}dx=x^{n+1}/(n+1)+C , n\neq -1$

 $4. \int sinxdx= -cos x +C$

$5. \int cosxdx= sin x +C$

Aturan Substitusi

Aturan substitusi digunakan pada kasus:

-  Sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapi

- Bagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel baru sehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.

Teorema aturan substitusi
Jika u = g(x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada $W_{g}$, maka
$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$
$\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

Integral Fungsi Simetri

Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan bahwa:

• Jika f fungsi genap, maka: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{-a}^{0}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$
• Jika f fungsi ganjil, maka: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$

Ilustrasi Geometri (Integral Fungsi Simetri)

Semoga Bermanfaat

Demikianlah Artikel Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi

Sekianlah artikel Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi kali ini, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sampai jumpa di postingan artikel lainnya.

Anda sekarang membaca artikel Integral - Anti Turunan, Luas di Bawah Kurva, Integral Tentu, Integral Tak Tentu, Teorema Dasar Kalkulus Dan Aturan Substitusi dengan alamat link https://jinklink.blogspot.com/2016/09/integral-anti-turunan-luas-di-bawah.html