Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya - Hallo sahabat jinklink, Pada Artikel yang anda baca kali ini dengan judul Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya, kami telah mempersiapkan artikel ini dengan baik untuk anda baca dan ambil informasi didalamnya. mudah-mudahan isi postingan Artikel Math SMA, yang kami tulis ini dapat anda pahami. baiklah, selamat membaca.

Judul : Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya
link : Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya

Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya

Nomor 1

Soal: Seorang petani bermaksud memagari tiga kandang persegi panjang berdampingan yang identik dengan luas keseluruhan 300 meter persegi. Tentukan panjang dan lebar setiap kandang sehingga pagar kawat yang diperlukan sedikit mungkin.

Jawab:

Misalkan: Gambar tiga kandang yang identik, misal x dan y adalah ukuran satu kandang.

Diketahui luas keseluruhan kandang adalah 300 meter persegi, sehingga

3xy = 300

y = (300/3x) = (100/x)

Misalkan lagi, K adalah panjang kawat pembuat pagar tiga kandang yang identik, maka:

K = 6x + 4y = 6x + 4(100/x) = 6x + (400/x)

Untuk menentukan nilai minimum:

$K'(x)=6-\frac{400}{x^{2}}=\frac{6x^{2}-400}{x^{2}}$

K'(x) = 0 bila

$6x^{2}=400\rightarrow 3x^{2}=200\rightarrow x^{2}=\frac{200}{3}\rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{200}{3}}$

Karena x >= 0, maka:

$x=\sqrt{{\frac{200}{3}}}$

Ini menunjukan bahwa $x=\sqrt{{\frac{200}{3}}}$ adalah satu-satunya bilangan kritis dari fungsi K. Jika $0<x<\sqrt{{\frac{200}{3}}}$ maka K'(x) > 0, dan bila $x>\sqrt{\frac{200}{3}}$ maka K'(x) < 0. Ini berarti K mencapai minimum mutlak di $x=\sqrt{\frac{200}{3}}$

Jika $x=\sqrt{\frac{200}{3}}$ maka:

$y=\frac{100}{\sqrt{\frac{200}{3}}}=\frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{200}}=\frac{100\sqrt{3}}{10\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Jadi ukuran setiap kandang adalah :

$\sqrt{\frac{200}{3}}\times \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Nomor 2

Soal: Penerimaan (T) dan pengeluaran (K) pengusaha kerupuk adalah:

$T(x)=1500x-4x^{2}, K(x)=x^{2}+500x+20000$

Tentukan berapa banyak paket kerupuk yang harus diproduksi sehingga keuntungan pengusaha tersebut maksimum.

Catatan: Keuntungan = Penerimaan - Pengeluaran

Jawab:

Keuntungan = Penerimaan - Pengeluaran. Sehingga keungtungan pengusaha tersebut adalah:

$U(x)=T(x)-K(x)=(1500x-4x^{2})-(x^{2}+500x+20000)$
$=1000x-5x^{2}-20000$

Bilangan kritis fungsi U adalah:

$U'(x)=0 \rightarrow 1000-10x=0\rightarrow x=100$

x = 100 merupakan satu-satunya bilangan kritis.

Cek nilai maksimum:

Karena x = 100 adalah satu-satunya bilangan kritis, kemudian jika x < 100 maka U'(x)>0 dan bila x > 100 maka U'(x) < 0, maka U(100) merupakan nilai maksimum mutlak. Jadi agar diperoleh keuntungan maksimum, kerupuk yang harus diproduksi adalah 100 paket.

Nomor 3

Soal: Virus flu burung menyerang suatu komunitas tertentu sedemikian sehingga setelah t bulan dari ditemukannya virus tersebut, P% populasi terinfeksi dengan

$P(t)=\frac{10t^{2}}{(1+t^{2})^2}$

Tentukan t sehingga presentasi populasi (P) yang terinfeksi mencapai maksimum dan tentukan nilai maksimum tersebut.

Jawab:

$P(t)=\frac{10t^{2}}{(1+t^{2})^2}$
$P'(t)=\frac{20t(1+t^{2})^{2}-10t^{2}(2)(1+t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^4}$
$=\frac{(1+t^{2})[20t(1+t^{2})-40t^{3}]}{(1+t^{2})^4}$
$=\frac{20t-20t^{3}}{(1+t^{2})^3}$
$=\frac{20t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^3}$

P'(t) = 0 untuk t = 0, t = 1 atau t = -1. Karena t > 0 maka bilangan kritis fungsi P adalah t = 1. Perhatikan bahwa P fungsi kontinu dengan hanya satu bilangan kritis untuk t > 0, dan

                        ++++       - - - -

Tanda P'     --------------------------

                    0              1

maka P mencapai maksimum mutlak di t = 1 dengan nilai maksimumnya P(1) = 10/4 = 2,5 %

Nomor 4

Soal: Seorang simpatisan partai politik akan menempel poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Pada jarak 8 meter di depan gedung tersebut terdapat pagar setinggi 1 meter. Simpatisan tersebut akan membuat tangga yang menghubungkan jalan di luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Tentukan panjang minimu tangga yang diperlukan simpatisan tersebut.

Jawab:

Misalkan l adalah panjang tangga. Maka:

$l^{2}=y^{2}+(8+x)^{2 }$
$=\left ( \frac{8+x}{x} \right )^{2}+(8+x)^{2}$
$=\left ( \frac{8}{x}+1 \right )^{2}+(8+x)^{2}$

Dari segitiga sebangun diperoleh:

$\frac{y}{l}=\frac{8+x}{x}$

Misalkan p(x) = l^2 maka:

$p(x)=\left ( \frac{8}{x}+1 \right )^{2}+(8+x)^{2}$
$p'(x)=2x+\frac{1}{x^{3}}(-16x-128)+1$
$=\frac{2x^{4}-16x-128+16x^{3}}{x^{3}}$
$=\frac{2(x+8)(x^{3}-8)}{x^{3}}$

p'(x) = 0 maka x = -8 (tidak memenuhi karena negatif) atau x = 2

Jadi, jika x = 2 merupakan satu-satunya bilangan kritis dari fungsi p.

Perhatiakan bahwa:

 p'(x) < 0 untuk x < 2 dan

p'(x) > 0 bila x > 2

Sehingga p mencapai minimum global/ mutlak di x = 2, maka:

$y=\frac{10}{2}=5$

$l^{2}=y^{2}+(8+x)^{2}=125\rightarrow l=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

l merupakan panjang tangga minimum yang dibutuhkan simpatisan tersebut.

Nomor 5

Soal: Suatu kotak tertutup berbentuk balok dengan volume 400 cm kubik mempunyai alas berbentuk persegi (bujur sangkar). Harga bahan untuk membuat bagian tutup dan bagian alas kotak adalah 1000 rupiah per cm persegi, sedangkan harga bahan untuk bagian untuk bagian dinding (samping) adalah 540 rupiah per cm persegi. Tentukan ukuran kotak tersebut agar biaya bahan yang diperlukan minimum.

Jawab:

Misalkan:

x adalah panjang sisi alas

h adalah tinggi balok

V adalah volume balok

Maka:

$V =x^{2}h\Rightarrow 400=x^{2}h\Rightarrow h=\frac{400}{x^{2}}$

Misalkan biaya yang harus dikeluarkan untuk membuat kotak adalah B(x), maka:

$B(x)=1000(2x^{2})+540(4x\frac{400}{x^{2}})=2000x^{2}+\frac{864000}{x}$
$B'(x) = 4000x-\frac{864000}{x^{2}}=\frac{4000x^{3}-864000}{x^{3}}$

dan bila B'(x) = 0 maka x = 6

Jadi x = 6 merupakan satu-satunya bilangan kritis fungsi B. Jika:

x < 6 maka B'(x) < 0

x > 6 maka B'(x) > 0

sehingga B(6) merupakan nilai minimum global dari fungsi B.

Jika x = 6 cm maka h = 400/36. Sehingga ukuran kotak adalah sisi alas 6 cm dan tinggi 400/36 cm.

Demikian Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya

Semoga Bermanfaat

Demikianlah Artikel Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya

Sekianlah artikel Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya kali ini, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sampai jumpa di postingan artikel lainnya.

Anda sekarang membaca artikel Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya dengan alamat link https://jinklink.blogspot.com/2017/02/contoh-soal-terapan-turunan-masalah.html