Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus - Hallo sahabat jinklink, Pada Artikel yang anda baca kali ini dengan judul Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus, kami telah mempersiapkan artikel ini dengan baik untuk anda baca dan ambil informasi didalamnya. mudah-mudahan isi postingan Artikel Kalkulus, yang kami tulis ini dapat anda pahami. baiklah, selamat membaca.

Judul : Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus
link : Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Hallo Gengs 🙌😁 Apa kabar hari ini? Semoga sehat selalu yeee

Pada kesempatan kali ini, saya akan memberikan beberapa contoh soal mengenai barisan tak hingga dalam kalkulus.

Bagi yang kurang mengerti  materinya, Gengs dapat mempelajarinya dengan mengklik link berikut ini: Ringkasan Materi Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Langsung saja yaaaa
Berikut ini merupakan contoh soal dan pembahasannya

Nomor 1
Buktikan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ dengan $a_{n}=\frac{2n+3}{n}$ untuk $n\geq 1$ adalah barisan yang konvergen ke 2.

Jawab:
Akan dibuktikan :
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=2$  $\Leftrightarrow n> N\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$

misal: $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
           $\begin{vmatrix} \frac{2n+3-2n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
           $\begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
           $n> \frac{3}{\epsilon } \Rightarrow N=\frac{3}{\epsilon }$

akan dibuktikan: jika $n> \frac{3}{\epsilon }$ maka $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$

misalkan:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
akan dibuktikan:
$\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$

Bukti:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
$\epsilon > \frac{3}{n }$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n-2n}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n}{n}-2 \end{vmatrix}$
 maka TERBUKTI bahwa  barisan tersebut konvergen ke 2.

Nomor 2

$\begin{Bmatrix} \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)} \end{Bmatrix}$

Dengan menggunakan teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
$\frac{n}{2n+3}\leq \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)}\leq \frac{n+1}{2n+3}$
$a_{n}=\frac{n}{2n+3}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}$

$c_{n}=\frac{n+1}{2n+3}$
       $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}$
Karena $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\textrm{dan} \begin{Bmatrix} c_{n} \end{Bmatrix}$ adalah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka berdasarkan teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.

Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
$\begin{Bmatrix} \frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya adalah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2$Sehingga dengan mudah dapat diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.

Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
$\begin{Bmatrix} (-1)^{n}(\ln n^{2})/(n) \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama seperti cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} \frac{(-1)^n(\ln n^{2})}{n} \end{vmatrix}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{|\ln n^{2}|}{|n|}$
                                $=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\ln n^{2}}{n}$
                                $=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}2n}{1}$
                                $=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n}=0$
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.

Nomor 5
$a_{n}=\frac{3n+5}{n}$
Gunakan definisi limit untuk membuktikan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3 jika $n\rightarrow \infty$

Jawab:
Diketahui:

$\forall \epsilon > 0,\exists N\ni n> N$
maka $|a_{n}-3|< \epsilon$

Misal:
$|a_{n}-3|< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5-3n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{5}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\Rightarrow \frac{5}{\epsilon }< n$
$\Rightarrow N=\frac{5}{\epsilon }$

akan dibuktikan: jika $n> \frac{5}{\epsilon }\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
misal : $n> \frac{5}{\epsilon }$
adb: $n> \frac{5}{\epsilon }$

Bukti:
$n> \frac{5}{\epsilon }$
$\Leftrightarrow\epsilon > \frac{5}{n}$
      $\epsilon >| \frac{5}{n}|$
      $\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{5+3n-3n}{n} \end{vmatrix}$
      $\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}$
Maka terbukti $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3.

Demikian contoh-contoh soal dari Barisan Tak Hingga.

Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.

Semoga Bermanfaat

Demikianlah Artikel Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus

Sekianlah artikel Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus kali ini, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sampai jumpa di postingan artikel lainnya.

Anda sekarang membaca artikel Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus dengan alamat link https://jinklink.blogspot.com/2017/10/contoh-soal-dan-pembahasan-barisan-tak.html