Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin] - Hallo sahabat jinklink, Pada Artikel yang anda baca kali ini dengan judul Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin], kami telah mempersiapkan artikel ini dengan baik untuk anda baca dan ambil informasi didalamnya. mudah-mudahan isi postingan Artikel Math SMA, yang kami tulis ini dapat anda pahami. baiklah, selamat membaca.
Judul : Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
link : Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
Definisi dari matriks invers
Suatu matriks segi A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis B = $\mathbf{A}^{-1}$.Sehingga dari definisi diatas, tersirat bahwa:
$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$
dengan I adalah matriks identitas.
Sifat-Sifat dari Matriks Invers
1. Invers suatu matriks taksingular adalah tunggal2. Jika matriks A dan B taksingular, maka:
a. $(\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}$
b. $(\mathbf{AB})^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$
c. $(\mathbf{A}^{T})^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^{T}$
Menentukan Invers Matriks dengan Metode Matriks Adjoin
Teorema berikut ini merupakan salah satu cara untuk menentukan invers suatu matriks.Teorema [Untuk Menentukan Invers Matriks dengan Matriks Adjoin]:
Jika determinan matriks $\mathbf{A}=(a_{ij})_{nxn}$ tidak nol, dan matriks $\mathbf{C}=(a_{ij})_{nxn}$ dengan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$, maka invers matriks A adalah:
$\mathbf{A}^{-1}= \mathbf{C}^{T}/det(\mathbf{A})$
Matriks $\mathbf{C}^{T}$ disebut matriks adjoin dari matriks A.Contoh 1:
Tentukan invers matriks dari:$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &-1 \end{pmatrix}$
Jawab:
Apabila kita melihat matriks diatas, berdasarkan sifat determinan maka determinan dari matriks A#0.
Pertama-tama kita mencari nilai dari det(A), maka akan diperoleh det(A) = -2. Kemudian kita cari matriks kofaktor dari matriks A , sehingga akan diperoleh matriks kofaktor seperti berikut.
$\begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \\ -5 &-1 &3 \\ -7 &-1 &5 \end{pmatrix}$
dengan demikian invers matriks A adalah:Contoh 2:
Tentukan invers matriks berikut.$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}$
Jawab:Karena matriks A#0 , selanjutnya kita cari nilai determinan dari matriks A, sehingga diperoleh det(A) = 4 - 6 = -2. Untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin. Matriks adjoin dari matriks A adalah:
$\mathbf{C}^{T}=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}$
Contoh 3:
Tentukan invers matriks berikut.$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$
dengan ad-cb # 0.Jawab:
Perhatikan: det(A) = ad - bc [tidak nol], sehingga untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin.
Kofaktor dari elemen-elemen matrika A adalah
$\alpha _{11}=-1^{2}\begin{vmatrix} d \end{vmatrix}=d ;\alpha _{12}=-1^{3}\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}=-c ;$
$\alpha _{21}=-1^{3}\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}=-b;\alpha _{22}=-1^{4}\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}=a$
sehingga matriks kofaktor dari A adalah
$\mathbf{C}=\begin{pmatrix} d &-c \\ -b &a \end{pmatrix}.$
Matriks adjoin dari matriks A adalah:$\mathbf{C}^{T}=\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}.$
Dengan demikian invers matriks A adalah
$\mathbf{A}^{-1}=(1/(ad-bc))\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}$
Contoh 4:
Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, bila:$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ -2 &-1 \end{pmatrix};\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 6 &8 \\ 11 &-4 \end{pmatrix}$
Jawab:
Untuk menentukan matriks T dari persamaan TA = B, maka kalikan [dari sebelah kanan] kedua rumus itu dengan matriks $\mathbf{A}^{-1}$, sehingga diperoleh
$\mathbf{T}\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}$
Karena $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}$, maka:$\mathbf{T}\mathbf{I}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1} \rightarrow \mathbf{T}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}$
Karena,
$\mathbf{A}^{-1}=(1/(-3-(-2)))\begin{pmatrix} -1 &-1 \\ 2 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}$
maka$\mathbf{T}=\begin{pmatrix} 6 &8 \\ 11 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & -18\\ 19&23 \end{pmatrix}$
Semoga Bermanfaat
Demikianlah Artikel Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]
Sekianlah artikel Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin] kali ini, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sampai jumpa di postingan artikel lainnya.
Anda sekarang membaca artikel Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin] dengan alamat link https://jinklink.blogspot.com/2016/05/matriks-invers-definisi-sifat-sifat-dan.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar