Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss - Hallo sahabat jinklink, Pada Artikel yang anda baca kali ini dengan judul Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss, kami telah mempersiapkan artikel ini dengan baik untuk anda baca dan ambil informasi didalamnya. mudah-mudahan isi postingan Artikel Math SMA, yang kami tulis ini dapat anda pahami. baiklah, selamat membaca.

Judul : Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss
link : Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss

Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) AX = B. Kali ini akan dibahas hanya satu metode saja, yaitu Metode Eliminasi Gauss.

Metode ini menggunakan Operasi Baris Dasar (OBD) yang telah dibahas pada postingan sebelumnya. Bagi Gengs yang belum terlalu paham tentang Operasi Baris Dasar (OBD), Gengs bisa membuka Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks

Ringkasan dibawah ini akan menunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linear (SPL) baru yang diperoleh dengan Operasi Baris Dasar (OBD) mempunyai penyelesaian yang sama dengan Sistem Persamaan Linear (SPL) sebelumnya.

Now, coba perhatikan SPL yang diberikan berikut ini:

$\begin{matrix} 3x_{1} &- &x_{2} &= &1 \\ x_{1} &+ &x_{2} &= & 3 \end{matrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}$

yang mempunyai penyelesaian $x_{1}=1$ dan $x_{2}=2$.

Matriks gandeng dari SPL tersebut di atas adalah:

$\begin{pmatrix} 3 &-1| &1 \\ 1 & 1| &3 \end{pmatrix}$

Dengan memperhatikan SPL tersebut:

Jika baris pertama dan baris kedua dari matriks gandeng tersebut dipertukarkan tempatnya maka akan diperoleh matriks gandeng berikut:

$\begin{pmatrix} 3 &-1| &3 \\ 1 & 1| &1 \end{pmatrix}$

Jika matriks gandeng yang telah ditukar tersebut dikembalikan dalam bentuk SPL, yaitu:

$\begin{matrix} 3x_{1} &- &x_{2} &= &3 \\ x_{1} &+ &x_{2} &= & 1 \end{matrix}$

dan kemudian diselesaikan, maka akan diperoleh penyelesaian $(x_{1},x_{2})=(1,2)$ yang sama dengan penyelesaian SPL sebelumnya.

Misalkan baris kedua matriks gandeng (yang belum di tukar) di atas dikalikan dengan 5 maka akan diperoleh matriks gandeng berikut:

$\begin{pmatrix} 15 &-5 &| & 5\\ 1 &1 & | & 3 \end{pmatrix}$

Jika SPL ini pun diselesaikan maka akan diperoleh penyelesaian $(x_{1},x_{2})=(1,2)$ dimana hasil SPL tersebut sama dengan hasil SPL sebelumnya (awal).

Jika baris pertama matrik gandeng dikalikan dengan minus satu (-1) kemudian ditambahkan ke baris kedua, maka akan diperoleh matriks gandeng sebagai berikut:

$\begin{pmatrix} 3 &-1 &| & 1\\ -2 &2 & | & 2 \end{pmatrix}$

Jika SPL ini diselesaikan maka akan diperoleh penyelesaian yang sama, yaitu pasangan bilangan $(x_{1},x_{2})=(1,2)$.

Terlihat bahwa suatu SPL mempunyai penyelesaian yang sama dengan SPL asal bila dikenai operasi-operasi:

1. Menukarkan persamaan ke-i dengan persamaan ke-j

2. Mengalihkan persamaan ke-i dengan konstanta tak k

3. Menambahkan persamaan ke-i dengan k kali persamaan ke-j

Prinsip dari metode eliminasi Gauss adalah diperolehnya SPL baru yang mempunyai penyelesaian yang sama dengan SPL sebelumnya, tetapi SPL baru tersebut lebih mudah diselesaikan.

Perhatikan contoh di bawah ini:

Tentukan penyelesaian SPL berikut ini:

$\begin{matrix} x_{1} & + &2x_{2} &+ &x_{3} & = &3 \\ 3x_{1} & - & x_{2} &- & 3x_{3} & = &-1 \\ 2x_{1} &+ &3x_{2} &+ &x_{3} &= & 4 \end{matrix}$

Jawaban:

Perhatikan matriks gandeng SPL tersebut:

$\begin{pmatrix} 1 &2 &1 & | &3 \\ 3 &-1 & -3 & | &-1 \\ 2 &3 &1 &| & 4 \end{pmatrix}$

Dengan melakukan Operasi Baris Dasar akan diperoleh matrik gandeng :

$\begin{pmatrix} 1 &2 &1 & | &3 \\ 0 &-7 & -6 & | &-10 \\ 0&-1 &-1 &| & -2 \end{pmatrix}$

Pada langkah ini, $a_{11}=1$ digunakan untuk mengeliminasi (membuat nol) unsur-unsur di bawahnya.

Sekarang, dapat dilakukan OBD yang menghasilkan matriks gandeng sebagai berikut:

$\begin{pmatrix} 1 &2 &1 & | &3 \\ 0 &-7 & -6 & | &-10 \\ 0&0 &-1/7 &| & -4/7 \end{pmatrix}$

dari matriks gandeng tersebut dapat diketahui bahwa p(A) = p(A|B) yang berarti SPL tersebut konsisten. Sehingga matriks tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

$\begin{matrix} x_{1}&+ &2x_{2} &- &x_{3} &= &3 & & &(1) \\ & &-7 x_{2} &+ &6x_{3} &= &-10 & & &(2) \\ & & & & -1/7x_{3} &= &-4/7 & & & (3) \end{matrix}$

Dari persamaan (3) diperoleh $x_{3}=4$. Kemudian nilai $x_{3}=4$ ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh $x_{2}=-2$. Selanjutnya, kedua nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (1) maka akan diperoleh $x_{1}=3$. Cara substitusi yang seperti ini dikenal sebagai substitusi mundur. Jadi, penyelesaian SPL tersebut adalah $\mathbf{X}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}=(3,-2,4)^{T}$.

Prosedur pengeliminasian unsur-unsur SPL (untuk n = 4) dapat diberikan dalam bagan di bawah ini:

$\begin{pmatrix} \mathbf{P} &x &x &x &| &x \\ x &x &x &x &| &x \\ x &x &x &x &| &x \\ x &x &x &x &| &x \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} x &x &x &x &| &x \\ 0 &\mathbf{P} &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \end{pmatrix}$

$\rightarrow \begin{pmatrix} x &x &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \\ 0 &0 &\mathbf{P} &x &| &x \\ 0 &0 &x &x &| &x \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} x &x &x &x &| &x \\ 0 &x &x &x &| &x \\ 0 &0 &x &x &| &x \\ 0 &0 &0 &x &| &x \end{pmatrix}$

Setelah diperoleh matriks seperti ini, maka periksa kekonsistenan SPL. Jika ya, maka lakukan substitusi mundur untuk menentukan penyelesaiannya.

 

Contoh

Tentukan penyelesaian dari SPL berikut ini:

$\begin{matrix} 2x_{1} &- &x_{2} &+ &x_{3} &= &2\\ x_{1} &+ &2x_{2} &+ &x_{3} &= &1\\ 4x_{1} &+ &3x_{2} &+ &3x_{3} &= &4\\ 3x_{1} &+ &x_{2} &+ &2x_{3} &= &3 \end{matrix}$

Jawab:

$\begin{pmatrix} 2 &-1 &1 \\ 1 &2 &1 \\ 4 &3 &3 \\ 3 &1 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4\\ 3 \end{pmatrix}$

Jika dilakukan OBD terhadap matriks gandengnya maka akan diperoleh:

$\begin{pmatrix} 1 &2 &1 &|&1 \\ 0 &-5 &-1 &| &0\\ 0 &0 &0 &| &0\\ 0 &0 &0 &|&0 \end{pmatrix}$

Terlihat bahwa p(A) = p(A|B), sehingga SPL tersebut konsisten. Dari matriks terakhir diperoleh:

$\begin{matrix} x_{1} &+ &2x_{2} &+ &x_{3} &= &1 & & &(1) \\ & &-5x_{2} &- &x_{3} &= &0 & & & (2) \end{matrix}$

Sehingga terdapat 2 persamaan dan 3 variabel yang harus ditentukan nilainya. Ini berarti terdapat 1 variabel yang nilainya bebas/sembarang. Misalkan $x_{2}=k$, dengan k merupakan bilangan real sembarang. Maka dari persamaan (2) diperoleh $x_{3}=-5k$,kemudian substitusikan kedua nilai tersebut sehingga akan diperoleh bahwa $x_{1}=1+3k$.

Jadi penyelesaian dari SPL ini adalah $\mathbf{X}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}=(1+3k,k,-5k)^{T}$, dengan k adalah suatu konstanta. Perhatikan bahwa SPL ini mempunyai banyak penyelesaian (karena p(A) = 2 < 3).

Semoga Bermanfaat

Demikianlah Artikel Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss

Sekianlah artikel Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss kali ini, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sampai jumpa di postingan artikel lainnya.

Anda sekarang membaca artikel Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss dengan alamat link https://jinklink.blogspot.com/2017/06/penentuan-penyelesaian-spl-dengan.html